梅林变换
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傅里叶变换是围绕平移建立的：它回答你把一个函数沿轴滑动时会发生什么，并把平移变成相位。但有些问题关乎的是缩放而非滑动——关乎放大和缩小，关乎在零附近与在无穷附近的行为。梅林变换之于缩放，正如傅里叶变换之于平移；它把拉伸一个函数的操作变成乘法，是幂律行为的天然语言。
f(x) 的梅林变换是 F(s) = 从 0 到无穷的 f(x) x^{s minus 1} dx，其中 s 是复数。核 x^{s minus 1} 是 x 的一个幂，而幂正是缩放的本征函数：把 x 换成一个常数乘以 x，只会提出一个幂，所以对输入的缩放就变成输出上的一个简单因子。它有一层近亲关系：代换 x = e^{minus t} 把梅林变换变成双边拉普拉斯变换，再转一次又把它与傅里叶变换联系起来——三者是同一台机器，分别从加性（傅里叶、拉普拉斯）与乘性（梅林）坐标看过去。该变换存在于复 s 平面上的一条竖直带内，相当于收敛域，由 f 在 0 处与无穷处的行为确定。
它的长处恰好在缩放当家的地方。它是 gamma 函数背后的变换（e^{minus x} 的梅林变换正是 Gamma(s)）和黎曼 zeta 函数背后的变换，是提取一个积分在参数趋于 0 或无穷时的渐近展开的标准工具（梅林-巴恩斯积分，而 F(s) 的留数读出渐近项），也是求解具有标度不变的欧拉-柯西结构的微分方程的恰当变换。在应用中，它出现在算法分析、具有幂律或自相似行为的问题，以及通过关于 s 的解析延拓对某些看似发散的级数求和之中。
e^{minus x} 的梅林变换是 从 0 到无穷的 e^{minus x} x^{s minus 1} dx = Gamma(s)——这个积分正是 gamma 函数的定义，所以 gamma 函数实际上就是一个梅林变换。
gamma 函数就是衰减指数的梅林变换——是标度变换核 x^{s-1} 最干净的例证。
梅林变换只活在它积分收敛的那条竖直带上，这条带由函数在 0 处和无穷处的增长确定；引用一个梅林变换却不给出那条带，就像引用一个拉普拉斯变换却不给出它的收敛域一样残缺。