用拉普拉斯變換求矩陣指數（matrix exponential by Laplace transform）
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拉普拉斯變換是那台代數機器，把微積分問題化成可以靠擺弄符號來解的問題。它早已征服單一純量方程，方法是把導數變成乘以 s。同一台機器，一次套用到整個系統 x' = A x 上，便透過一次代數求逆把矩陣指數交給你，不需特徵向量、不需級數、不需約當塊。
它是這樣推出來的。對矩陣初值問題 x' = A x、x(0) = x0 取變換。導數法則把 x' 變成 s X(s) - x0，故方程成為 s X(s) - x0 = A X(s)。聚攏 X 項：(sI - A) X(s) = x0，於是 X(s) = (sI - A)^(-1) x0。與 x(t) = e^(At) x0 對照，揭示出乾淨的恆等式：e^(At) 是 (sI - A)^(-1) 的拉普拉斯反變換。那個對象 (sI - A)^(-1) 稱為 A 的預解式（resolvent）；其各元素是 s 的有理函數，你用尋常工具把它們反變換回 t 的函數，部分分式與一張變換表，正如對單一方程那樣。所以你符號地求一個矩陣的逆，把每個元素化簡成可辨認的變換，再逐元素讀出 e^(At)。
當你已熟練拉普拉斯變換時，此法格外順手，因為它重用你所有的技能：預解式的極點（det(sI - A) = 0 的根）正是特徵值，而部分分式自動產生正確的 e^(lambda t)、t e^(lambda t) 與 sin/cos 片段，重根與複根一併涵蓋，毫無另立情形之需。代價是要符號地求一個 n×n 多項式矩陣的逆，這對大 n 變得沉重；對 2×2 與 3×3 則乾淨可靠。
對 A = [0, 1; -1, 0]，sI - A = [s, -1; 1, s]，其行列式為 s^2 + 1。逆為 (1/(s^2+1)) [s, 1; -1, s]。逐元素反變換：s/(s^2+1) 反變換回 cos t，1/(s^2+1) 回 sin t，得 e^(At) = [cos t, sin t; -sin t, cos t]。分母 s^2 + 1 即 det(sI - A)，其根 i、-i 就是特徵值，極點昭示了它們。
預解式 (sI - A)^(-1) 是 e^(At) 在 s 域的面貌；對其各元素作部分分式，便交回時域的矩陣。
拉普拉斯法需要 (sI - A) 這個 n×n 多項式矩陣的符號逆，小 n 時乾淨，但 n 一大便迅速笨重，此時特徵值法擴展性更佳。