李雅普諾夫穩定（Lyapunov stability)

對一個靜止狀態而言，「穩定」該是什麼意思？最溫和而誠實的意思是：若你從靠近處出發，你就保持靠近——沒有東西爆掉，即使它從未真正回來。一顆停在完全無摩擦碗底的彈珠在這個意義下是穩定的：輕推它，它就永遠在底部附近滾來滾去，從不逃離，雖然也從不安定。李雅普諾夫穩定正是這個「若從靠近處出發就保持靠近」的精確想法。

其定義用「挑戰與回應」。平衡點 x* 是李雅普諾夫穩定的，若對每個容差 epsilon（一個你不許超過的小距離），都存在一個起始容差 delta，使得任何從 x* 的 delta 範圍內出發的軌跡，在所有未來時間都保持在 x* 的 epsilon 範圍內。換句話說：無論你在平衡點周圍畫多細的管子，總有某個更小的起始球，能使整條未來軌跡留在那條管子裡。它不要求軌跡回到 x*——只要求它從不遊蕩遠去。

這是三個標準判決中最溫和的（另兩個是還要求最終回歸的漸近穩定，以及不穩定）。它正是保守系統的恰當概念：無阻尼鐘擺的下垂位置與行星的軌道都是李雅普諾夫穩定但非漸近穩定的，因為能量守恆、軌跡在附近永遠繞圈而不收斂。一個 V' ≤ 0 的李雅普諾夫函數直接認證這類穩定。