漸近穩定（asymptotic stability）

李雅普諾夫穩定只保證：若你從靠近處出發，你就保持靠近。漸近穩定保證更強、更令人滿意的事：你不只保持靠近，你還真的回家。把彈珠丟進一個帶些許摩擦的真實碗裡，它不只在附近搖晃——它會緩緩盤旋而下，停在碗底。那個最終的回歸就是多出來的成分。

精確地說，平衡點 x* 是漸近穩定的，當它既是李雅普諾夫穩定（鄰近軌跡保持鄰近）又是吸引的（每條從夠靠近處出發的軌跡，當時間趨於無窮時都真的收斂到 x*）。兩半都需要。光有吸引並不夠——有些古怪系統的軌跡最終會回來，但中途會劇烈擺盪到很遠處，這不該被「漸近穩定」允許。一個變化率 V' 在 x* 之外嚴格為負的李雅普諾夫函數能認證漸近穩定，因為能量持續流失，直到軌跡停在碗底。

這通常是工程師想要的判決：把房間帶回設定溫度的恆溫器、會自行扶正的船、從碰撞中恢復的控制系統。對雙曲平衡點，漸近穩定能直接從雅可比矩陣讀出——它恰好在每個特徵值實部都嚴格為負時成立（一個匯）。「漸近穩定」只指明最終行為，而非速度；若收斂是指數型的，有時稱為指數穩定，這是帶確定速率、更強的保證。