LU分解
當你執行高斯消去法時，會對矩陣做大量算術，最後得到一個三角系統。LU分解是個簡單卻強大的領悟：這些工作可以存成兩個三角矩陣——下三角的 L（對角線為 1，存放你用過的乘數）與上三角的 U（消去後的結果）。它們的乘積還原出原矩陣：A = L U。它就是把消去過程裝瓶，好讓你重複使用。
L 與 U 為何會出現？每個消去步驟「把列 i 減去 m_i1 倍的列 1」本身就是一個簡單的下三角運算，把它們還原（把乘數 m_i1 放回去）就構成 L。因此若你把消去元素 (i, j) 所用的每個乘數 m_ij = a_ij / a_jj 都存起來，就剛好得到 L，而 U 是留下來的上三角矩陣。接著要解 A x = b，就拆成兩個容易的三角求解：先用前代（由上而下）解 L y = b，再用回代（由下而上）解 U x = y。分解約需 2 n^3 / 3 次浮點運算；每次三角求解只約需 n^2 次。
好處就是「分解一次、求解多次」：若你必須對許多不同的右端 b 解 A x = b（在模擬、最佳化、時間步進中很常見），你只付一次立方成本得到 L 與 U，之後每個新的 b 只花 O(n^2)。LU分解也幾乎免費地給你行列式（U 對角線的乘積乘上列交換的符號），而且這是 LAPACK 之類函式庫解稠密系統的標準途徑。實務上它會搭配樞紐選擇，所以真正算出的是 P A = L U，其中 P 是置換矩陣。
對列為 (4, 3) 與 (6, 3) 的 A，一次消去步驟（row2 -= 1.5*row1）得列為 (4, 3) 與 (0, -1.5) 的 U，以及列為 (1, 0) 與 (1.5, 1) 的 L；驗證 L U = A。
乘數 1.5 正是 L 的非對角元素；U 是消去後留下的部分。
並非每個矩陣都能在不交換列的情況下做 LU 分解（即使 A 非奇異也可能出現零樞紐），因此實用的對象是搭配部分樞紐選擇的 P A = L U；未選樞紐的版本主要具理論意義。