前代

假設你的方程式已經排好：第一條只含第一個未知數，第二條只含前兩個，依此類推——像一條往下的階梯。前代就是往下走這條階梯的顯然方法：從第一條解出 x_1，代入第二條得 x_2，再把兩者代入第三條得 x_3，一直走下去。每一步只用到你已經算出的答案。

形式上它解一個下三角系統 L y = b，其中 L 只有對角線及以下為非零。第一列為 l_11 y_1 = b_1，故 y_1 = b_1 / l_11。第 i 列為 l_i1 y_1 + ... + l_ii y_i = b_i，由於 y_1, ..., y_{i-1} 已知，可整理成 y_i = (b_i - sum_{j<i} l_ij y_j) / l_ii。i 由 1 掃到 n，由上而下。成本約 n^2 次浮點運算——遠比分解的 n^3 便宜。

前代是有了 A = L U（或 P A = L U）之後求解 A x = b 的前半段：先用前代解 L y = b，再用回代解 U x = y。它只對三角矩陣有效，而這正是把 A 分解成三角片段的用意。一個注意點：只要對角元 l_ii 不過小，它就表現良好，而良好的樞紐選擇有助於確保這點；接近零的對角元會讓除法爆掉。