低差異序列（low-discrepancy sequence）

如果你想在一個正方形裡放一百個點、讓它們盡量公平地覆蓋，真正的隨機點意外地差——它們留下空洞與群聚。規則格點很均勻，卻只適用特定的數量，而且把點排成可疑的列。低差異序列是巧妙的折衷之道：一份看起來像隨機那樣不規則、卻被設計成在每個尺度都均勻散開、沒有大片空隙也沒有密集群聚的點清單，而且你能逐點延長而不必重排版面。

「均勻散開」的技術度量是「差異」：對單位立方體的任何子盒子，比較落在其內的點的比例與盒子的體積；差異就是所有盒子上最壞的不吻合。隨機點的差異約為 1/sqrt(N) 階；低差異序列把它壓低到約 (log N)^d / N，小得多。著名的構造是巧妙的數論配方：Halton 序列把計數器 n 在不同質數底下的數字反轉，逐座標建出（一維的 van der Corput 序列在 2 進位下是 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 5/8, ...），有系統地填補空隙；Sobol 序列用二進位「方向數」，是金融與繪圖的實用主力。它們是確定性的——每次都是同一條序列，沒有種子。

這些序列是準蒙地卡羅內部的引擎，其價值正在那裡顯現。誠實的告誡關乎尺度與結構。Halton 序列在高維會退化，因為高質數底的座標在頭幾個點上會強烈相關（所以人們會打散或跳過它們）；Sobol 需要謹慎選取方向數與好的初始點。(log N)^d 因子意味著維度成長時均勻性的優勢會變薄。而且因為點是確定性的，預設你得不到統計誤差棒——隨機打散能恢復一條。不過，對低到中等維度的平滑被積函數，低差異點乾淨地勝過隨機點。