全純映射的局部度（the local degree of a holomorphic map）
站在一個點上問：一個解析函數把一個微小鄰域繞它在那裡取的值纏繞幾次？在大多數點它恰好纏繞一次——映射在局部一對一。但在特殊點上它把鄰域對折到自身好幾次，像把一條帶子繞木樁兩圈。那個對折次數就是局部度：映射覆蓋緊鄰 f(z_0) 之值的次數。
精確地說，若 f 在 z_0 附近解析且 f(z_0) = w_0，則 f 在 z_0 的局部度是 f(z) - w_0 在 z_0 處零點的階 m——等價於使 f^(m)(z_0) 不為零的最小 m，也等價於 z_0 作為 f(z) = w_0 之解的重數。由局部映射定理，這個 m 有生動的意義：對每個充分接近 w_0 但不等於它的值 w，方程 f(z) = w 在繞 z_0 的小圓盤內恰有 m 個相異解。故局部度照字面數出附近有幾個點映到一個典型的鄰近值。你用求導來算它：當 f'(z_0) 不為零（正則點）時 m = 1，而在 f' 有 m - 1 階零點的臨界點處 m 大於 1。
局部度是解析圖像與拓撲圖像之間的橋樑。對圍道內某值的所有原像求和，便重現輻角原理裡的整體計數。它確切告訴你局部反演何時可能（局部度為 1 意味局部可逆且共形），並標定映射的分支點（局部度 m 大於 1）。它正是角度在臨界點被乘以 m 的精確原因。值得說明的限定：對非常數解析映射，任何一點的局部度恆為正整數——這裡沒有分數或負的局部度，不像帶符號的拓撲度可能抵消；解析映射保持定向，故所有局部貢獻以同號相加。
對 f(z) = z^3 在 z_0 = 0，局部度為 3：對任何不為 0 的小 w，方程 z^3 = w 在 0 附近恰有三個相異的立方根。映射把一個小圓盤在其像中繞原點纏繞三次。
局部度 m = z_0 作為 f(z) = w_0 之解的重數；此處 m = 3。
對非常數解析映射，局部度恆為正整數，且所有原像都按正計（無抵消），因為解析映射保持定向——不像一般的拓撲度帶有符號。