局部中央極限定理（local central limit theorem）

一般中央極限定理是關於分布函數（區間機率）的陳述；它對密度或點機率本身一無所述。局部中央極限定理把依分布收斂升級為實際密度（連續被加項）或點質量（格點被加項）逐點且一致地收斂到高斯曲線。它是「逐點」或「像素級」的中央極限定理。

兩種形式。格點情形：若獨立同分布的整數值 X_i 均值 mu、變異數 sigma^2、跨距 1（可能步差的最大公因數為 1），且 S_n = X_1 + ... + X_n，則當 n -> infinity 時，sqrt(n) P(S_n = k) - (1/(sigma sqrt(2pi))) e^(-(k - n mu)^2/(2 n sigma^2)) -> 0，對整數 k 一致成立。密度情形：若被加項有密度且特徵函數滿足可積／衰減條件 integral |phi(t)|^n dt < infinity（某個 n，這是保證有界密度存在的光滑性要求），則 (S_n - n mu)/(sigma sqrt(n)) 的密度 f_n 一致收斂到標準常態密度 (1/sqrt(2pi)) e^(-x^2/2)。證明是傅立葉反演：把密度／點質量寫成 phi^n 的反變換，並證明積分集中在 t=0 附近，那裡特徵函數的高斯近似成立。

局部中央極限定理在組合學與統計物理（計數格點路徑、係數漸近）、隨機漫步（返回機率，一維時 P(S_n = 0) ~ const/sqrt(n)），以及任何需要在個別結果而非聚合機率層級上做高斯近似之處都很重要。誠實的警語：它需要一個全域中央極限定理不需要的非退化／光滑條件。僅支撐在偶整數上的格點變數跨距為 2，故對奇數 k 有 P(S_n = k) = 0，天真的局部中央極限定理失敗——必須使用正確的跨距。對連續被加項，奇異或不光滑的分布（特徵函數不衰減）可滿足一般中央極限定理卻根本沒有極限密度。