愛奇沃斯展開（Edgeworth expansion）
/ EDJ-werth /
貝里—埃森告訴你標準化和離常態多遠；愛奇沃斯展開則逐項告訴你主要偏差長什麼樣，以 1/sqrt(n) 的冪展開。它是中央極限定理的系統性精煉，用被加項的偏度、峰度與更高累積量來修正常態近似。
設獨立同分布 X_i 均值 0、變異數 1，且有足夠多有限動差。S_n = (X_1 + ... + X_n)/sqrt(n) 的累積分布函數有展開 F_n(x) = Phi(x) + phi(x)[ -gamma_1 He_2(x)/(6 sqrt(n)) - (gamma_2 He_3(x)/24 + gamma_1^2 He_5(x)/72)/n + ... ]，其中 Phi 與 phi 為標準常態累積分布函數與密度，He_k 為厄米多項式，gamma_1 為 X_1 的偏度（三階累積量）、gamma_2 為超額峰度（四階累積量）。此配方純為特徵函數微積分：把特徵函數的對數按累積量展開 log phi_{S_n}(t) = -t^2/2 + (i t)^3 gamma_1/(6 sqrt(n)) + ...，取指數，再逐項反傅立葉變換；厄米多項式之所以出現，是因為它們正是 (it)^k e^(-t^2/2) 的反變換。首項修正是 1/sqrt(n) 階的偏度項；對稱被加項時它消失，主要修正成為 1/n 階的峰度項（這正是對稱和看起來更快變常態的原因）。
愛奇沃斯展開在統計上對精確小樣本 p 值、信賴區間，以及作為自助法（bootstrap）二階準確性的理論依據都很重要。誠實的警語是：愛奇沃斯級數是漸近展開，並非收斂級數：對中等 n 加更多項可提升準確度，但全級數通常發散，且截斷近似在尾部甚至可能跑出有效累積分布函數的 [0,1] 範圍。它對非格點形式還需 X 的格點／克拉默光滑條件（克拉默條件 limsup |phi(t)| < 1 當 |t| -> infinity）；格點變數另有經修正的展開。
對右偏變數之和（gamma_1 > 0，如指數變數），主要愛奇沃斯項 -gamma_1 He_2(x) phi(x)/(6 sqrt(n)) 移動機率質量，使和的分布相對於對稱常態呈偏斜——這解釋了為何在小 n 時純常態近似在上尾過於樂觀。
首項修正是 1/sqrt(n) 階的偏度項；對稱資料時它消失，留下 1/n 階的峰度項。
愛奇沃斯級數是漸近而非收斂的——截斷近似只在一定程度內隨項數增加而改善，且在尾部可能低於 0 或高於 1。