線性穩定性分析（linear stability analysis）

你已找到一個不動點；現在想知道它是谷還是峰——輕輕一推，擾動是衰退還是增長。線性穩定性分析的作法是把鏡頭拉近到不動點旁，近到彎曲的流看起來像直線，再讀出這條被拉直的流是指向內還是向外。

把狀態寫成 x = x* + eta，其中 eta 是微小擾動。代入 dx/dt = f(x) 並只保留 eta 的線性項，得到 d(eta)/dt = J eta，其中 J 是在 x* 處求值的雅可比矩陣（Jacobian），J_ij = partial f_i / partial x_j。因此擾動以指數和 e^(lambda t) 的形式增長或衰減，lambda 為 J 的特徵值。若所有特徵值的實部皆為負，不動點（線性）穩定；只要有任一特徵值實部為正，則不穩定。在一維情形這化為單一數字：f'(x*) < 0 穩定，f'(x*) > 0 不穩定。

這方法強大但既是局部的、也是線性的：它只描述緊鄰不動點的區域，且僅到一階。當某特徵值實部恰為零時，線性項相消、判準失效；不動點的命運此時由你丟棄的非線性項決定，而這個臨界情形正是分岔發生之處。線性穩定性對於遠離不動點的行為（例如遠處是否存在極限環）則一無所知。