線性初值問題（linear IVP）

線性初值問題是一個一階線性方程加上一個起始條件：在 y(x_0) = y_0 下解 y' + p(x) y = q(x)。與任何初值問題一樣，你追求的是單一個特定解，而非整個家族——服從方程並通過給定點的那條唯一曲線。

程序是積分因子配方加上最後的代入。造 mu(x) = e^(p 的積分)，把方程改寫為 (mu y)' = mu q，積分得通解 y = (1/mu)((mu q 的積分) + C)，再代入 y(x_0) = y_0 並解出 C。使用從 x_0 起的定積分會讓這格外乾淨，並自動釘住 C。最關鍵的事實是它與非線性情形的對比：若 p 與 q 在含 x_0 的開區間上連續，則線性初值問題恰有一個解，且該解在 p 與 q 保持連續的整個區間上都存在。沒有意外、沒有分岔、沒有提早崩潰。

這種在可預測區間上保證的存在與唯一性，正是線性模型在預測上如此值得信賴的原因——電路、冷卻、混合都承襲它。你應尊重的界線是：解只在 p 與 q 連續的區間上被承諾：若 p(x) = 1/x，在 x_0 = 1 的初始條件給出對 x 大於 0 有效的解，而那個區間一般不會跨越 x = 0 的不連續處。有效區間由係數決定，而非由解自己撞上麻煩決定。