等值集

在地形图上，一条等高线把海拔相同的所有点连起来。等值集正是把这个想法用于任意函数：收集函数取某个固定输出值的所有输入。两个变量时你得到等值线（等高线）；三个变量时得到等值面。它们把输入空间切成一片片取值恒定的薄层。

严格地说，f: R^n -> R 在值 c 处的等值集，是定义域中满足 f(x) = c 的所有 x 构成的集合。不同的 c 给出不同且互不相交的等值集，它们合起来填满定义域。所有等值集的全体，是一种不离开输入空间就把标量场可视化的方式——用“值恒定之处”来编码函数的行为。

有两件事把等值集与多元分析的其余部分联系起来。f 的梯度在每点（梯度非零处）垂直于过该点的等值集，因为在等值集内移动使 f 保持不变。且由隐函数定理，在梯度不为零的点，等值集在局部是 n - 1 维的光滑曲面。在梯度为零之处，等值集可能有奇点——角点、交叉、孤立点。