LDL^T 分解
喬列斯基分解很美，但有兩個小缺點：它要開平方根（成本略高，且要求根號下嚴格為正），而且只能處理正定矩陣。LDL^T 分解是把這兩個皺褶都撫平的近親。它把對稱矩陣寫成 A = L D L^T，其中 L 是單位下三角（對角線為 1），D 是吸收縮放的對角矩陣——所以不需要平方根。
你可以把它想成把平方根抽出到對角 D 的喬列斯基：若喬列斯基給出 A = G G^T，則令 D 存 G 對角線的平方、令 L 為各行重新縮放後的 G，便得 A = L D L^T。分解以與喬列斯基相同的一半工作量 O(n^3 / 3) 算出，求解同樣是一對三角求解加上一次平凡的對角求解（解 L y = b、再以除法解 D z = y、再解 L^T x = z），去掉平方根可略快也更乾淨。關鍵在於：當允許 D 含負元素或 2×2 區塊時，LDL^T 可推廣到不定的對稱矩陣——非正定——這是純喬列斯基碰不到的。
對於未知是否正定的對稱系統，LDL^T 是首選方法，這在最佳化（約束問題的 KKT 系統對稱但不定）與許多物理應用中不斷出現。對不定矩陣，它必須搭配對稱樞紐選擇（Bunch-Kaufman 策略，使用 1×1 與 2×2 樞紐區塊）才能在保持對稱的同時維持穩定。誠實的注意點：在正定矩陣上，LDL^T 與喬列斯基在成本和精度上基本等價，所以真正改用 LDL^T 的理由是不定的情況。
對列為 (4, 2) 與 (2, 5) 的 A，LDL^T 給出列為 (1, 0) 與 (0.5, 1) 的 L 與 D = diag(4, 4)；驗證 L D L^T = A，過程中不開任何平方根。
對角 D 承載了喬列斯基會放到平方根下的縮放。
對不定的對稱矩陣，樸素的 LDL^T 可能崩潰或不穩定；你需要含 2×2 區塊的對稱（Bunch-Kaufman）樞紐選擇。在正定矩陣上，它相對於喬列斯基並無真正優勢。