KKT 條件（KKT conditions）
/ K-K-T, spelled out; Karush-Kuhn-Tucker /
拉格朗日乘子處理必須恰好成立的約束（等式，「留在圍籬上」）。但許多真實約束是單邊的：不可「超出」的預算、不可過高的應力、不能為負的機率。KKT 條件把乘子思想擴展到這些不等式約束——它們是一般受約束最佳化問題的解所必須滿足的核心一階檢驗。
對於在等式 h_j(x) = 0 與不等式 g_i(x) <= 0 下最小化 f(x)，KKT 條件在最佳點 x* 打包了四項要求。（1）駐點性：拉格朗日函數的梯度為零，grad f + sum lambda_j grad h_j + sum mu_i grad g_i = 0——一種力的平衡。（2）原始可行性：x* 確實滿足所有約束。（3）對偶可行性：不等式乘子非負，mu_i >= 0（一個約束只能把解往一邊推）。（4）互補鬆弛（complementary slackness）：對每個不等式，mu_i * g_i(x*) = 0——意即約束要嘛是作用中（緊的，g_i = 0，圍籬被觸碰、其乘子可為正），要嘛是不作用（鬆的，g_i < 0，圍籬無關緊要、其乘子為零）。最後這個條件是問題的核心：它自動判定最佳點上「哪些」約束在起作用。
KKT 條件是幾乎所有受約束最佳化的理論基礎——內點法、作用集法、SVM 訓練與經濟均衡，骨子裡都是求解 KKT 系統的方法。對於滿足約束品性條件的凸問題，KKT 條件既必要又充分：任何 KKT 點都是全域最佳。誠實的提醒：對非凸問題它們只是必要（KKT 點未必是極小），而且需要一個約束品性條件（例如作用約束梯度線性獨立）才能保證在最佳點成立——病態的約束幾何可能讓它們失效。把正負號約定與不等式方向弄對，是出了名的臭蟲來源。
在 x >= 1（即 g(x) = 1 - x <= 0）下最小化 f(x) = x^2。最佳點是 x = 1，約束作用中（g = 0），其乘子 mu = 2 > 0 滿足互補鬆弛 mu * g = 0。若約束改為 x >= -1，無約束極小 x = 0 可行，約束不作用，故 mu = 0——圍籬從未起過作用。
互補鬆弛：約束要嘛緊（mu>0）、要嘛無關（mu=0）。
KKT 點只有在問題為凸（且約束品性條件成立）時才是全域最佳；對非凸問題 KKT 僅屬必要，所以 KKT 點可能是鞍點甚至極大。正負號約定很重要：不等式乘子必須非負，而把 g_i <= 0 與 >= 0 搞反是經典的錯誤。