一階最佳性條件（first-order optimality condition）

站在谷底，感受腳下的地面：它是平的。站在山頂：也是平的。只要地面有傾斜，你就能往下踏一步走得更低——所以最低點絕不會落在斜坡上。一階最佳性條件把這個日常事實化為一個檢驗：在光滑函數的任何極小（或極大）處，地面必定是平的——每個方向的斜率都是零。

精確地說：若 x* 是可微函數 f 的局部極小，且 x* 不在邊界上，則梯度為零，grad f(x*) = 0。梯度是各偏導數組成的向量 (df/dx_1, ..., df/dx_n)；它指向最陡上升的方向，長度就是最陡斜率。令它等於零向量，意思是沒有任何方向往下走——局部而言曲面是平的。使 grad f = 0 的點稱為駐點（stationary point）或臨界點，而解 grad f(x) = 0 正是微積分定位候選極小的方法。這是 n 個未知數、n 條方程的系統，往往是非線性的，本身也用數值方法求解（例如牛頓法）。

關鍵的誠實之處：這個條件是必要的，卻不是充分的。平坦的地面可能標記著極小、極大或鞍點——三者梯度都是零。所以 grad f(x*) = 0 只是把 x* 提名為候選；你需要二階條件（曲率）才能分辨它是哪一種。實務上下降演算法從不精確地解 grad f = 0；它們在梯度長度降到某個小容差以下、即 ||grad f|| < epsilon 時停止，接受一個「夠平」的點。