二階最佳性條件（second-order optimality condition）
知道地面是平的，只告訴你身處某個特殊點，卻沒說是哪一種。你是在碗底、圓頂頂端，還是在一個某方向往上、另一方向往下彎的鞍上？要分辨，就檢查地面在你四周如何彎曲：若每個方向都向上拱起，就是真正的谷底。二階最佳性條件正是這個曲率檢驗，而曲率由海森矩陣（Hessian matrix）所刻畫。
海森矩陣 H 是所有二階偏導數組成的矩陣，H_ij = d^2 f / (dx_i dx_j)；它記錄梯度本身隨移動如何變化，也就是每一對方向上的曲率。在駐點 x*（grad f = 0 之處）：若 H 正定（positive definite）——意即對每個非零方向 v 都有 v^T H v > 0，等價於它所有特徵值都為正——則 x* 是嚴格局部極小（曲面在每個方向都向上彎）。若 H 負定（所有特徵值為負），x* 是局部極大。若 H 同時有正、負特徵值，x* 是鞍點。必要版本說局部極小必須有 H 半正定（特徵值 >= 0）；充分版本則需要嚴格正定。
這之所以重要，是因為它是確認極小的嚴謹方法，而海森矩陣的特徵值還揭示問題的條件性（conditioning）：最大特徵值與最小特徵值之比，就是這個最佳化的條件數，比值很大（一條又長又窄的谷）正是讓樸素梯度下降來回鋸齒、爬得極慢的原因。誠實的難處在成本：組出並分解整個 n×n 的海森矩陣約需 O(n^3) 運算與 O(n^2) 儲存，當 n 達數百萬時不可行，這正是擬牛頓法改用梯度近似曲率、而不直接計算 H 的緣故。臨界情形——H 半正定但奇異（有一個零特徵值）——確實無法判定，需要更高階導數才能解決。
對 f(x, y) = x^2 + 3y^2，梯度 (2x, 6y) 在原點為零。海森矩陣是常數對角矩陣 diag(2, 6)，特徵值 2 與 6——皆為正，所以原點是嚴格局部（此處也是全域）極小。對 g(x, y) = x^2 - y^2，海森矩陣 diag(2, -2) 有一正一負的特徵值：原點是鞍點。
正定海森矩陣 = 碗 = 極小；正負混合 = 鞍點。
常見的錯誤是只檢查某些對角元素為正——那並不是正定。你必須檢驗所有特徵值（或所有順序主子式）。而奇異的半正定海森矩陣（有零特徵值）會讓問題確實懸而未決。