LDL^T 分解

Cholesky 很优美，但它对每个主元都要开平方根，而平方根既慢又只对正数有定义。LDL^T 分解保留了 Cholesky 的对称结构，却绕开了开方：它把对称矩阵 A 写成 A = L D L^T，其中 L 是单位下三角矩阵（对角线为 1），D 是对角矩阵。

诀窍是把主元留在单独的对角因子 D 中，而不是把它们的平方根拆进 L。若 A 正定，则 D 的元素全为正，令 Cholesky 的 L 等于（此处的 L）乘以 sqrt(D) 即可还原 Cholesky。但由于 D 允许含负元素或零，LDL^T 也能处理不定的对称矩阵，而这正是 Cholesky 不存在的情形。

不定的对称系统无处不在：约束优化产生的鞍点问题、KKT 系统、内点法都会生成它们。对这些情形，稳健的版本是 Bunch-Kaufman 变体，它允许 D 中出现 1x1 和 2x2 的分块，并对称地选主元以保证稳定。它是对称不定系统的标准求解器。

提醒：对不定的 A，不带选主元的朴素 LDL^T 仍可能不稳定，正如朴素 LU 一样。当必须保持对称、又不能假定正定时，你真正调用的是带分块选主元的 Bunch-Kaufman 方案。