拉克斯-奧列尼克公式（Lax-Oleinik formula）
/ lahks oh-LAY-nik /
若能對一條非線性守恆律，有一個誠實的公式直接從初始資料寫出熵解——連同震波、稀薄波等一切——而不必手動追蹤特徵線，那該多好。對凸通量的純量律而言，拉克斯-奧列尼克公式正是如此：一次最小化便產生唯一的物理解。
對凸的 f、方程 u_t + f(u)_x = 0，想法如下。藉由寫 u = w_x 轉到積分（位勢）形式；守恆律變成漢米頓-雅可比方程 w_t + f(w_x) = 0，而其黏性解具有霍普夫-拉克斯表示式 w(x, t) = min over y of [ W_0(y) + t L((x - y)/t) ]，其中 W_0 是初始位勢、L 是 f 的勒壤得轉換（通量的凸「對偶」）。對它微分，就得到 u 本身的拉克斯-奧列尼克公式：u(x, t) = (f')^(-1)( (x - y*(x,t)) / t )，其中 y*(x,t) 是最小化點。最小化點 y* 是在 (x, t) 處「勝出」的那條特徵線的起腳；當兩條特徵線並列（兩個最小化點）時，那恰好就是一道震波，而公式自動選出熵可容許的那一個。不必另外施加跳躍或熵條件——這個 min 把一切都包辦了。
它的重要性在於：它是對一個真正非線性、會形成震波的偏微分方程，難得的閉形式掌握。它證明了凸純量律熵解的存在與唯一，顯示解透過一個穩定的最小化依賴於資料（因而適定），並揭示兩個美麗的正則化效應：對任何初始資料（無論多麼粗糙），解都自動具有有界變差，並滿足單側利普希茲界 u_x <= 1/t（奧列尼克不等式）。代價是一般性：它需要通量為凸且方程為純量——對系統而言，並無這樣的公式。
對伯格斯方程 f(u) = u^2/2，對偶為 L(v) = v^2/2 且 (f')^(-1)(v) = v，故公式為 u(x, t) = (x - y*)/t，其中 y* 使 W_0(y) + (x - y)^2/(2t) 最小化。一旦出現兩個最小化點，解就跳變——那就是震波——而單側界 u_x <= 1/t 對所有 t > 0 都成立，無論 u_0 原本多麼狂野。
對初始點作最小化，直接產生熵解——當最小化點跳變時，震波就出現。
此公式要求 f 為凸（或一致凸）；對非凸通量而言，這個簡單的最小化不再捕捉波結構，需要更一般的奧列尼克構造。而它嚴格上是純量方程的工具——守恆律系統並無拉克斯-奧列尼克公式。