Burgers 方程（Burgers' equation）
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Burgers 方程是展示光滑波變陡、破碎、形成震波的最簡單方程——正因如此，它是非線性偏微分方程的實驗動物。它是一條單一的純量方程，幾乎和傳輸方程一樣樸素，卻已包含守恆律的全部戲劇：特徵線相交、梯度爆破、震波、稀疏波，以及熵條件。
無黏形式為 u_t + u u_x = 0。它是傳輸方程，只有一處關鍵改動：承載 u 的速度就是 u 自己。於是輪廓較高的部分往前奔馳，較矮的部分落後，波向前傾並變陡。寫成守恆律形式為 u_t + (u^2/2)_x = 0，所以通量是 u^2/2。它的特徵線是直線 x = x0 + u(x0,0) t——斜率由資料決定——當資料遞減時相交，在有限時間產生震波。黏性形式加上一個小的平滑項，u_t + u u_x = nu u_xx，使解對所有時間保持光滑、並把震波化解成一層薄而陡的過渡層；令 nu 縮向零（消失黏性）便回收無黏的震波，並挑出物理上正確、滿足熵條件的弱解。
Burgers 方程的重要性遠超過它自身樸素的物理。它是震波理論的典範測試問題，是決定震波速度的朗肯-雨貢尼奧跳躍條件、恢復唯一性的熵條件，以及數值格式（須在不產生虛假震盪下捕捉震波）的典範試題。精通 Burgers，你就握有整套純量守恆律理論的骨架。
讓無黏 Burgers 方程從一個階梯出發，左邊 u = 1 降到右邊 u = 0。較快的左態追上右態，特徵線立即碰撞，震波瞬間形成，以平均速度 (1 + 0)/2 = 1/2 移動——恰好是朗肯-雨貢尼奧速度。
下降階梯立刻給出速度 1/2 的震波；上升階梯反而張開一把稀疏波扇。
對同一個上升階梯資料，移動的震波與展開的稀疏波都是弱解，所以弱解不唯一。熵條件否決那個（非物理、放出特徵線的）震波而保留稀疏波；沒有它，唯一性就喪失了。