漢米頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）
/ HAM-il-ton yah-KOH-bee /
假設你想求出從每個點到某目標的最短行進時間，或控制問題中最便宜的路徑，或從光源射出的光波前。每種情形都有一個「值」函數，其梯度編碼了最佳方向，而它服從一條對梯度為非線性的一階偏微分方程。漢米頓-雅可比方程正是這條主方程，誕生於古典力學，如今是最佳控制、幾何光學與波前傳播的核心。
它的形式是 u_t + H(x, grad u) = 0，其中漢米頓量 H 是位置與梯度 grad u 的給定函數。（一個與時間無關的版本 H(x, grad u) = 0 包含幾何光學的光程方程 |grad u| = 1/c。）古典方法是特徵法：u 的偏微分方程等價於一組常微分方程——沿著雙特徵「光線」的漢米頓方程 dx/dt = H_p、dp/dt = -H_x——而 u 藉由沿它們積分而建構。但正如守恆律一樣，特徵線會交會：光線聚焦，梯度 grad u 變成多值，古典光滑解在有限時間內不復存在（試想波前形成尖角，或最短路徑線在障礙物後方相撞）。此後，人們需要一個唯一而穩定的弱解概念。正確的那個是克蘭德爾與里翁斯的黏性解，作為 u_t + H(x, grad u) = epsilon Laplacian u 的消失黏性極限而得，它挑選出物理上有意義的（例如首次抵達的）解。
它的重要性在於：漢米頓-雅可比方程是純量守恆律的深層表親——在一維中，把 u_t + H(u_x) = 0 對 x 微分，便給出 v = u_x 的守恆律，而霍普夫-拉克斯／拉克斯-奧列尼克公式把兩者相連。它是動態規劃背後的方程（最佳控制的漢米頓-雅可比-貝爾曼方程）、移動界面的水平集方法背後的方程，以及行進時間之光程方程背後的方程。它誠實的微妙之處與震波相同：光滑性失效，你必須投身於黏性解框架才能得到適定性。
光程方程 |grad u| = 1 是一個穩態的漢米頓-雅可比方程；其黏性解 u(x) 是 x 到某給定目標集的距離，而其等高集 {u = t} 是時刻 t 的波前。在波前兩部分本會相撞之處，黏性解保留首次抵達（較小）的值並發展出一道摺痕——恰是震波的對應物。
距離／行進時間函數滿足漢米頓-雅可比方程；其等高集中的摺痕正是震波的對應物。
一個頑固的誤解是古典特徵線總能給出解。它們只在光線交會前給出解；此後天真的特徵「解」變成多值而錯誤，唯有黏性解是單值且適定的。不要把這條求未知函數 u(x,t) 的漢米頓-雅可比偏微分方程，與求軌跡本身的漢米頓常微分方程混為一談。