餘弦定理

畢氏定理 a^2 + b^2 = c^2 只對直角三角形有效。餘弦定理是它的成熟版：它對每個三角形都成立，並精確告訴你當兩邊的夾角不是直角時，公式該修正多少。

設邊 a、b、c 分別對角 A、B、C，餘弦定理為 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos C，另兩邊有相應版本。看它的結構：這是畢氏定理加上一個取決於夾角的修正項 -2ab x cos C。當 C = 90 度時 cos C = 0，修正項消失，恰好還原成 a^2 + b^2 = c^2；當 C 為銳角，cos C 為正，第三邊比畢氏定理所給的短；當 C 為鈍角，cos C 為負，該邊較長。它正是正弦定理無從起步的兩種情形所需的工具：已知三邊（SSS），以及兩邊與其夾角（SAS）。

改寫成 cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)，它也能由已知三邊反求一角，這正是你不必畫圖就能判斷三角形是銳角、直角還是鈍角的方法。它與正弦定理合用，便能解任何三角形。常見的失誤是正負號：公式是減去 2ab cos C，所以鈍角（餘弦為負）會使整項變成相加——把公式裡的減號保留，讓餘弦自帶它的正負號。