非線性系統、穩定性與李雅普諾夫理論
拉薩爾不變原理（LaSalle's invariance principle）
/ la-SAL /
李雅普諾夫直接法只在能量處處嚴格遞減時才證明漸近穩定——但在許多真實系統中，能量有時會保持不變，例如當速度瞬間為零時。系統還會安定下來嗎，還是可能卡在某條能量等位線上繞圈？拉薩爾不變原理正好回答這點，在嚴格遞減失敗時搶救出結論。
其想法是：設 V 是一個李雅普諾夫函數且 V' 小於等於零（它從不增加，但允許在某些地方保持平坦）。軌跡被困在碗形的次水平集裡，因此必定趨向「V' = 0 的區域中所含的最大不變集」。「不變」指流永遠離不開的集合；你找它的方法是問：在所有能量瞬間停止下降的點當中，系統實際上能永遠待在哪些點之間。那個最大不變集往往就只是單一平衡點，於是每條軌跡都收斂到它——即漸近穩定，儘管 V 只是不增。
這是帶阻尼的機械與控制系統的主力工具。經典例子是阻尼鐘擺：能量除了在擺錘瞬間靜止（速度為零）的時刻之外都在遞減，那些時刻 V' = 0；唯一能永遠停在零速度的運動是靜止坐在底部，所以拉薩爾推得鐘擺必定停在那裡。此原理要求軌跡有界（預緊）方能適用，而困住軌跡的次水平集通常正好提供這一點。
對 x' = y、y' = -sin(x) - y，能量 V = (1/2)y^2 + (1 - cos x)，V' = -y^2 ≤ 0；它只在 y = 0 時為零，但在那條線上流迫使 y' = -sin(x)，故系統只能在 x = 0 處停留——拉薩爾給出向底部的收斂。
能量只在 y = 0 上保持平坦，而永遠待在那裡的唯一軌跡是平衡點，故所有運動都收斂到它。
拉薩爾不需要 V' 嚴格為負——這正是它的重點所在——但它確實要求軌跡保持有界，且其結論是收斂到一個不變集，只有當該集是單一平衡點時才意味漸近穩定。
又称
另见