Koopman 算子方法

Koopman 理論為非線性動力系統提供了一種「線性但無限維」的觀點：不去追蹤狀態 x 的非線性演化，而是追蹤觀測量 g(x) 在 Koopman 算子下的線性演化——該算子把狀態的任意函數往前推進一步。若能找到一組觀測量（一個 Koopman 不變子空間），使算子在其中彼此線性映射，非線性系統在那組坐標下就變成嚴格線性，其特徵值與特徵函數（Koopman 模態）描述了系統的內在頻率、增長／衰減率與相干結構。

對神經資料而言，其許諾是一種有原則的「非線性轉線性」提升：學出觀測量——古典上以擴充 DMD（extended-DMD）字典，如今則常以自編碼器同時學出提升映射與一個線性潛在算子——使族群動力學變得線性、可詮釋，並能套用整套線性系統工具（頻譜、可控性、穩定性）。誠實的警示是：對一般非線性系統，有限維的 Koopman 不變子空間只近似存在；由短時、含噪的神經紀錄估計頻譜很難可靠；學出的提升也可能過擬合。Koopman 是一具強大的透鏡，而非保證的精確線性化。