基爾霍夫公式與帕松公式（Kirchhoff's and Poisson's formulas）
/ KEERK-hof; pwah-SON /
達朗貝爾公式解的是直線上的波動方程。那麼三維空氣中的聲波、或二維池塘上的漣漪呢？基爾霍夫公式（三維）與帕松公式（二維）就是顯式的答案——達朗貝爾在高維度的表親，透過把初始資料在球面或圓盤上平均，直接從資料寫出解。
基爾霍夫公式（三維）說，值 u(x,t) 是由初始資料在以 x 為心、半徑 ct 的球面上的平均所構成——恰好是那些信號以速度 c 行進、此刻正在抵達的點。因為它只取半徑 ct 處薄薄的球殼，球殼經過後貢獻就掉回零：這正是三維何以享有強惠更斯原理（乾淨的後緣）的原因。帕松公式（二維）類似，但在整個半徑 ct 的實心圓盤上積分，而非只在它的邊界圓上——每個比 ct 更近的點都仍有貢獻。那個填滿的積分正是二維何以有綿延尾波、沒有乾淨後緣的原因：來自圓盤內部的舊資料持續餵入。
兩條公式之間的對比，就是把整個銳利對瀰散的故事化成代數。一個面平均（三維）給出乾淨的波前；一個實心平均（二維）給出尾波。兩者都由球面平均法導出——把未知量在球面上平均，會把多維波動方程化回一維方程（尤拉-帕松-達布方程），讓達朗貝爾式的推理能夠攻克。這些公式正是聲學、光學與天線理論實際計算輻射場的方法，也是高維度有限傳播速度的嚴格來源：u(x,t) 只依賴距離 ct 以內的資料。
原點處一個點狀的閃光：由基爾霍夫三維公式，距離 r 處的觀察者起初什麼都看不到，然後在恰好 r/c 時刻看到一道銳利的閃光（當半徑 ct = r 的球面抵達他們時），隨後黑暗。同一事件在假想的二維世界（帕松）中，會給出一道閃光，隨後是緩緩淡去的餘暉。
基爾霍夫（三維）在球面上平均——銳利；帕松（二維）在圓盤上平均——有尾波。
當心名稱重複：這條二維波動方程的帕松公式，與圓盤上拉普拉斯方程的帕松積分公式是不同的結果。同一位數學家，兩條各別著名的公式。