非正則奇點（irregular singular point）

非正則奇點是困難的情形：一個奇點，那裡係數爆得太猛，連弗羅貝尼烏斯法都無法保證。它是級數解這個裝備齊全的工具箱用盡保證的地方，而解在該點附近的行為，可能比「任何冪乘以一個整潔級數」狂野複雜得多。

其分類不過是正則奇點測試的失敗。在 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 的奇點 x0 處，你檢查 (x - x0) P(x) 與 (x - x0)^2 Q(x) 是否皆解析。若其中至少一個仍不解析，即 P 爆得快過 1/(x - x0)，或 Q 快過 1/(x - x0)^2，則 x0 是非正則奇點。一個標準例子是 y'' + (1/x^2) y' + y = 0 在 x = 0：此處 x P = 1/x 仍然爆掉，正則測試失敗，故 x = 0 為非正則。

為何要替這種情形命名？因為在非正則奇點附近，解可能帶有本性奇異（essential singularity），想想像 e^(1/x) 那樣的東西，它在該處根本沒有泰勒或弗羅貝尼烏斯展開，因此初等級數機器可能產生不出可用的解。這是該方法的真正邊界：在非正則奇點處，人們轉向漸近展開、特殊變換或數值計算。它誠實地提醒我們，冪級數綱領雖然強大，卻並非無所不能。