交截重數（intersection multiplicity）

當兩條曲線相交時，有時它們乾淨地穿過彼此，有時它們只是輕掠，相觸而未真正穿越。把相切僅算作「一個點」會丟失資訊。交截重數是為每個公共點賦予正確權重的方式，使計數穩定而誠實：橫截相交算一次，單純相切算兩次，更高階接觸算得更多。它正是使貝祖定理化為精確等式的記帳法。

設兩條平面曲線 C = V(f) 與 D = V(g) 相交於點 p。交截重數 I_p(C, D) 在代數上定義為局部環商 O_p / (f, g) 作為 k 上向量空間的維數：你在 p 處局部化座標環，並測量「由兩個方程在該處截出的代數」有多大。具體地它是 dim_k ( k[x, y]_p / (f, g) )。這個數恰好在曲線橫截相交（光滑交點處切線相異）時為 1；單純相切時為 2；它隨接觸階數以及所涉任何奇異點的重數而增長。貝祖的設定還要求計入無窮遠點，這正是為何要在射影平面中工作。

交截重數是交截理論的基礎——代數幾何中計數子簇如何相交的部分——也是貝祖定理的局部輸入。兩個誠實的提醒。第一，天真的維數公式 dim_k O_p / (f, g) 唯有當兩曲線在 p 處不共有公共分量時才給出正確重數（否則商是無窮維的，交截不是有限計數）。第二，對稱而表現良好的理論真正需要射影且正常相交（無共有分量）的設定，而真正一般的定義——對超出餘維數相交的高維子簇——需要塞爾的 Tor 公式，那裡天真的長度計數失效，你要對 Tor 模的長度作交錯求和。