對半鞅的積分（integral against a semimartingale）
半鞅是存在令人滿意的隨機積分的最一般積分子，對它積分是整個建構的頂點。半鞅是可寫成（局部）鞅加有限變差過程的過程；對它的積分藉由分別對各部分積分再相加而建立。這個類別恰恰正確的原因是一條深刻的定理（比希特勒-德拉謝里 Bichteler-Dellacherie）：半鞅正是那些能定義出合理的、具正確連續性的受控隨機積分的全部過程。
具體地，半鞅 X 有分解 X = X_0 + M + A，M 為局部鞅（M_0 = 0）、A 為有限變差過程（A_0 = 0）。對可料、局部有界的積分子 H，隨機積分定義為 integral_0^t H dX = integral_0^t H dM + integral_0^t H dA，其中第一個積分是對局部鞅的隨機積分（前述建構），第二個是對有限變差 A 的普通逐路徑勒貝格-斯蒂爾傑斯積分。在連續情形，分解 M + A 唯一（典範分解），故積分無歧義；在一般 cadlag 情形，使用 A 可料的特殊半鞅分解。積分承襲所期望的性質：它仍是半鞅、是線性的、並對隨機積分滿足控制收斂定理，其二次變差為 [integral H dX] = integral H^2 d[X]。對連續半鞅，伊藤公式、乘積律與協變差括號都在這般一般性下對 X 成立，這正是整套微積分以半鞅為語言的原因。
這是隨機微積分的自然歸宿。SDE 的解、交易資產的價格、變換後的擴散、以及停止或時間變換後的過程全都是半鞅，而此類別在我們所施行的運算下穩定：半鞅的 C^2 函數仍是半鞅（由伊藤）、對半鞅的隨機積分仍是半鞅、停止保持此類別。誠實的提醒：(1) 積分子必須可料；對左連續適應（如 caglad）積分子這自動成立，而可料性正是讓鞅部分保持局部鞅的關鍵。(2) 有限變差部分逐路徑積分，故無等距支配它；唯有鞅部分帶 L^2／二次變差的機制。(3) 一個微妙但重要的點是：在測度變換（吉爾薩諾夫）下，過程仍是半鞅，但其分解改變（漂移移位），故「半鞅」是對測度穩健的概念，而「鞅」不是。
幾何布朗運動 S_t = S_0 exp(sigma B_t + (mu - sigma^2/2) t) 是連續半鞅，其典範分解為 S = S_0 +（局部鞅 integral sigma S dB）+（有限變差漂移 integral mu S ds）。把可料持有策略 H 對 S 積分，得收益 integral H dS = integral H sigma S dB + integral H mu S ds——第一部分是局部鞅、第二部分是逐路徑時間積分；交易策略的值過程正是對半鞅的積分。
半鞅積分拆成帶 L^2 機制的鞅（dB）部分與逐路徑積分的有限變差（ds）部分。
半鞅是容許表現良好積分的最大類別（比希特勒-德拉謝里），並在 C^2 映射、積分、停止與測度變換下保持——但鞅／有限變差的拆分並非測度不變的；唯有半鞅性質本身才是。