积分（integral）

积分是把无穷多个极小的碎片加起来、得到一个整体的方法。想象一条曲线下方的面积——一个起伏不平、没有简单公式能套上的形状。把它切成无数条薄如纸片的竖直长条，求出每一条的面积，再全部加起来。当长条越切越细，这个总和会收敛到一个确切的答案：这个答案就是积分。简而言之，它度量的是「累积」——某样东西堆积了多少。

这正是积分无处不在的原因。知道一辆车每一瞬间的速度，把速度积分起来，就得到走过的总路程。知道水流进水箱的速率，积分就给出蓄起来的总体积。只要一个量是从一个不断变化的速率累积而成的，积分就是把它加总起来的工具。

最深刻的惊喜在于，积分恰好是导数的逆运算——导数度量的是某样东西变化得有多快。这就是微积分基本定理：求导抵消积分，正如乘法抵消除法。一个常见的误解是把积分仅仅当成「面积」；面积只是那张图，真正的核心是从变化率把一个量累积出来。