檢驗（等待時間）悖論（inspection / waiting-time paradox）

你在一個隨機的時刻抵達公車站。公車平均每 10 分鐘來一班。你也許預期等待約 5 分鐘——平均間隔的一半。然而你一次又一次等得更久，而你落入的那個間隔感覺比典型的更長。這就是檢驗悖論，而它不是運氣不好：它是內建於你抽樣方式中的、真實而不可避免的偏誤。

其機制是長度偏誤抽樣。藉由在一個隨機瞬間出現，你更可能落在一個「長」間隔內而非短的，純粹因為長間隔覆蓋了時間軸的更多部分——一個 20 分鐘的間隔給你的「在其間到達」的機會，是 10 分鐘間隔的兩倍。所以你實際經歷的間隔不是一個典型間隔；它朝向較大值被尺寸偏誤，其平均為 E[T^2]/E[T]，這個值總是至少為 E[T]（且只要間隔有任何變動就嚴格更大）。你的等待平均是「那個」被膨脹的間隔的一半，而非普通平均的一半。對卜瓦松過程，數字很鮮明：平均間隔是 1/lambda，然而你所檢驗的間隔平均為 2/lambda——長兩倍——而由無記憶性，你的剩餘等待仍平均為 1/lambda，而非 1/(2*lambda)。

這確實違反直覺，而且出現在每一個你抽樣「正在進行中的任何區間」之處：你隨機遇到的家庭比平均家庭更大（你更可能遇到來自大家庭的人）、你打斷的電話比平均電話更長、你隨機抓到的檔案比平均檔案更大。解法是對抽樣方式誠實：對間隔取平均與對時間取平均是不同的運算，而長度偏誤抽樣系統性地偏好長的。它是一種偏誤，而非謬誤，也不是底層速率上的錯誤。