拉普拉斯變換：不連續與脈衝強迫
初值定理（initial value theorem）
有時你手上有一個函數的拉普拉斯變換 F(s) 卻還沒反變換，而你只想知道一個數字：函數從哪裡開始，也就是它在 t = 0 的值。初值定理讓你直接從 F(s) 讀出這個起始值，完全不必做反變換——只要看 F(s) 在 s 變得很大時的行為。
定理說：f(0+) = s 趨於無窮時 s F(s) 的極限。直覺是兩個域之間的一種交易：變換世界裡的大 s 對應時域世界裡的小 t，因為變換定義中的因子 e^(-st) 在 s 很大時，對最早的時刻衰減得最快。所以 s F(s) 在 s 巨大時的行為，完全由 f 在最開頭的作為所主宰。你乘上 s 來抵消變換天生的 1/s 尺度，再把 s 推向無窮。
這是一個快速的合理性檢查。在 s 域解完一個常微分方程後，你可以用一行驗證你的 X(s) 給出正確的初值，省得在反變換上白費力氣。它也讓你在不需要完整時域解的控制問題裡，抽出起始的斜率或值。它便宜、迅速、是好習慣——只要你尊重它的細則。
若 X(s) = (2s + 3)/(s^2 + s + 1)，則 s X(s) = (2s^2 + 3s)/(s^2 + s + 1)，當 s → ∞ 時 → 2，故 x(0+) = 2。
乘以 s，把 s 送向無窮，起始值就掉出來——不需反變換。
初值定理在極限存在時總成立（對行為良好訊號的真分式變換為真）。它不需檢查極點位置——那個附帶條件屬於「終值定理」，後者在任何極點落於右半平面或虛軸時失效。
又称
另见