風險率（the hazard rate）

想像一台已經完美運轉五年的機器。在它撐了這麼久的條件下，它在下一瞬間故障的機會是多少？這種在倖存者之中、逐瞬間「此刻就故障」的條件風險，就是風險率。它不同於在某個年齡故障的原始機會，因為它以「已經撐到這裡」為條件；它回答的是對那些仍在運作的個體而言，下一瞬間有多危險。

嚴格地說，風險率是 h(x) = f(x) / S(x)，即 x 處的密度除以撐到 x 的存活機率。讀懂各部分：f(x) 是恰好在 x 附近發生故障的速率，S(x) 是仍然在場、有待故障的比例；相除就把無條件的速率轉成「每位倖存者」的速率。等價地，h(x) dx 約為「在已存活至 x 的條件下、下一小片內故障」的機率。因為 h(x) = -d/dx ln S(x)，你可以從風險率重建存活函數：S(x) = exp(- 從 0 到 x 對 h(t) dt 積分)。

風險率的形狀說出一個故事。常數風險代表完全沒有老化（無記憶的指數分布：倖存者跟全新一樣）。上升的風險代表磨損，東西隨年齡愈來愈容易故障（人、磨損的軸承）。下降的風險代表早期故障被淘汰、倖存者愈來愈堅固（嬰兒死亡率、電子產品的老化測試）。許多真實系統呈現浴缸曲線：早期風險高、中段低而平、然後尾端上升。誠實的提醒：常數風險是一個強而且常常不切實際的假設；在真相會老化時卻假設常數風險，是典型的建模錯誤。