幾何布朗運動與 Black-Scholes 模型（geometric Brownian motion and the Black-Scholes model）
純粹的布朗運動是個糟糕的股票模型：它可能變負（價格不會），而一塊錢的抖動對一塊錢的股票理應比對一千塊錢的股票意義更大。修正的辦法是讓「報酬」而非「價格」服從布朗運動。幾何布朗運動（GBM）就是當百分比變化服從布朗運動時你得到的東西：價格以穩定的百分比漂移成長，同時以百分比大小的隨機抖動搖晃。結果始終為正、按比例縮放，是股價的標準教科書模型——也是榮獲諾貝爾獎的 Black-Scholes 選擇權定價公式的基礎。
GBM 是 SDE dS = mu S dt + sigma S dB 的解，其中 mu 是期望成長率、sigma 是波動率。注意兩項都與 S 本身成比例——這就是它「幾何」的原因。解它是伊藤引理的一個漂亮的一行應用：把伊藤套用在 log(S) 上。樸素的鏈鎖法則會給 d(log S) = (dS)/S = mu dt + sigma dB，但伊藤額外的二階項減去 (1/2) sigma^2 dt，得到 d(log S) = (mu - sigma^2/2) dt + sigma dB。所以 log(S) 是帶漂移的普通布朗運動，這意味著 S(t) = S(0) exp((mu - sigma^2/2) t + sigma B(t))。價格是一個常態的指數，所以 S(t) 服從對數常態分布且永遠為正。那個小小的 -sigma^2/2「波動率拖累」，是伊藤引理的直接贈禮，正是中位數價格成長慢於均值的原因。
Black-Scholes 假設股票服從 GBM，然後問：一份選擇權（一份日後以固定履約價買入股票的合約）的公平價格是多少？其天才在於避險論證：你可以連續地交易股票來完美抵消選擇權的風險，建立一個以無風險利率成長的投資組合。那套邏輯，結合伊藤引理，產生 Black-Scholes 偏微分方程及其著名的封閉形式價格。誠實的提醒既大且重要：真實市場有肥尾、跳躍、以及本身隨機移動的波動率，這些 GBM 都捕捉不到；波動率 sigma 並非常數（真實選擇權價格中的「波動率微笑」正是市場承認模型錯了）；而完美避險假設了無摩擦、連續的交易，沒有人真能做到。GBM 是一個出色的初步模型，而非真理。
一檔股票從 100 開始，漂移 mu = 8 %、波動率 sigma = 每年 20 %。一年後它的對數價格服從常態，均值為 log(100) + (0.08 - 0.02) = log(100) + 0.06、標準差 0.20。期望價格是 100 exp(0.08) = 108.3，但中位數只有 100 exp(0.06) = 106.2——這個差距就是波動率拖累 sigma^2/2 = 0.02。
價格是布朗運動的指數，所以它們保持為正且服從對數常態分布。
GBM 假設波動率為常數、無跳躍、報酬為常態——這些在真實市場全都不成立（真實市場有肥尾與「波動率微笑」）。它是有用的基準，而非現實；中位數價格因 sigma^2/2 拖累而成長慢於均值。