半單李代數（semisimple Lie algebra）
在李代數之中，有些是「剛性」且可被優美分類的，另一些則有柔軟的可解部分使一切變得複雜。半單李代數就是剛性的那些——沒有可解雜質、由單塊拼成、沒有阿貝爾成分突出的代數。它們是經由鄧肯圖獲得完整而優雅分類的代數，也是表示論的自然居所。
有幾個等價定義；擇最有用者用之。(1) g 為半單，若它沒有非零可解理想（即根基，最大可解理想，為零）。(2) 卡坦判準：g 半單，當且僅當其基靈型 B 非退化。(3) g 半單，當且僅當它是單李代數（無真非零理想的非阿貝爾代數）的直和。被排除者的簡單例子：任何有中心的代數，或上三角矩陣代數（可解），都不是半單；而 sl(n)、n >= 3 的 so(n)（除 n=4 會分裂外）、su(n) 與 sp(n) 皆為半單。複單李代數被分類為四個無窮族 A_n, B_n, C_n, D_n（分別對應 sl(n+1), so(2n+1), sp(2n), so(2n)）外加五個例外 G_2, F_4, E_6, E_7, E_8——這份清單在 1890 年代封口。
半單性是李理論最乾淨的假設：每個有限維表示都完全可約（外爾定理），結構由根系與卡坦子代數支配，而緊半單群從相反的基靈型得到雙不變度量。誠實的細則：對群而言「半單」嚴格強於「單」，但這些詞容易糾纏——gl(n) 是約化的但非半單（有純量中心），而 sl(n) 是半單的。一般結構定理（列維分解）說：任何有限維李代數都是其可解根基與某半單子代數的半直積，故半單代數正是被可解部分包裹的不可化約「硬核」。
sl(2, C)，即跡為零的 2 x 2 複矩陣，是最小的單（因而半單）李代數，基底為 H = diag(1,-1)、E = [0,1;0,0]、F = [0,0;1,0]，關係為 [H,E]=2E、[H,F]=-2F、[E,F]=H。其基靈型非退化（卡坦判準確認半單性），而其表示論——「階梯算子」E、F 升降 H 的特徵值——是全部李表示論以及量子力學角動量的範本。
配上階梯算子 E、F、H 的 sl(2,C) 是半單表示論的範本情形。
半單不等於單，且 gl(n)（約化的、帶中心純量）並非半單，雖然 sl(n) 是。由列維分解，每個李代數都是可解根基加上一個半單部分——半單性隔離出剛性核心，並不描述所有代數。