伴隨表示（adjoint representation）
群以共軛作用於自身：g 把 x 送到 g x g^(-1)，這是「改變觀點」，把一個對稱在旋轉過的座標中重新表達。由於共軛固定單位元，對它微分便給出群在單位元處切空間上的作用——也就是在李代數上的作用。這就是伴隨表示：它是群如何看待自身的無窮小對稱，且是李群所攜帶的最重要表示，因為它純粹由群本身建構而成。
其中有兩層，分別記為 Ad（大寫）與 ad（小寫）。對每個 g in G，共軛 C_g(x) = g x g^(-1) 固定 e，故其在 e 處的微分是線性映射 Ad(g) = (dC_g)_e : g -> g。對應 Ad: G -> GL(g) 是 G 在其李代數上的表示：Ad(g h) = Ad(g) Ad(h)。在矩陣群上 Ad(g) X = g X g^(-1)，即一般的矩陣共軛。再對 Ad 本身在單位元微分得到 ad: g -> gl(g)，即李代數的伴隨表示，其要點是 ad 就是括號：ad(X)(Y) = [X, Y]。所以括號就是無窮小共軛。兩者經由 exp(Ad(g)X) = g exp(X) g^(-1) 與 Ad(exp(X)) = e^(ad(X)) = I + ad(X) + ad(X)^2/2! + ... 相連。
伴隨表示是結構理論的骨幹：基靈型由 ad 建構，Ad 的核是 G 的中心（對連通 G），Ad(G) 的像是內自同構，而一個群為半單恰當其伴隨表示在基靈型所精確化的意義下性質良好之時。一個須避免的常見混淆：Ad 是群在向量空間 g 上的表示，而 ad 是代數在 g 上的表示；二者經微分相連，卻處於不同層級。此外 Ad 未必忠實——其核恰為中心，故對阿貝爾群 Ad 平凡。
在 SU(2)（單位四元數）上，李代數 su(2) 是三維的（~ R^3），而共軛 Ad(g) X = g X g^(-1) 在其上作用如一個旋轉。這實現了 2 對 1 的覆蓋同態 SU(2) -> SO(3)：Ad 恰是把單位四元數送到它所誘導旋轉的映射，且 +-g 給出同一旋轉。
SU(2) 的 Ad 即自旋二重覆蓋 SU(2) -> SO(3)：su(2) ~ R^3 上的共軛即旋轉。
Ad（群 G 在 g 上的表示）與 ad（代數 g 在 g 上的表示，等於括號）是不同層級的不同對象；ad(X) = [X, -]。Ad 恰在中心上不忠實。