單參數子群（one-parameter subgroup）

選定一個穩定不變的「對稱速率」並讓它運行：固定角速度給出鐘錶指針的旋轉，固定加速給出等加速，固定平移速率給出穩定漂移。這些都是以時間為指標的單參數群元素族，其中時間相加：運行 s 秒再運行 t 秒，等同於運行 s + t 秒。這就是單參數子群——單一不變的無窮小對稱所走出的軌跡。

形式上，李群 G 的單參數子群是從實數加法群出發的光滑同態 gamma: R -> G，故 gamma(s + t) = gamma(s) * gamma(t) 且 gamma(0) = e。在 0 處微分得到李代數 g 中的向量 X = gamma'(0)，即「初速」。基本定理是此對應為一一對應：每個 X in g 決定唯一的單參數子群，即以單位元處取值 X 的左不變向量場、通過 e 的積分曲線；反之每個單參數子群皆如此復原。具體地，gamma 滿足常微分方程 gamma'(t) = (L_gamma(t))_* X，gamma(0) = e；其解為 gamma(t) = exp(tX)。在矩陣群上這就是矩陣指數，gamma(t) = e^(tA) = I + tA + (tA)^2/2! + ...，且確有 e^(sA) e^(tA) = e^((s+t)A)。

單參數子群是從李代數通往李群的橋樑：它把每個無窮小生成元 X 打包成一條真正的群元素曲線，把它們全部拼起來便得到指數映射。它們恰為左不變向量場的流，這正是那些場完備的原因。一個警告：gamma 的像未必是 G 的閉子集——環面 T^2 = R^2/Z^2 上著名的無理直線就是一個單參數子群，其像稠密纏繞且不閉，故單參數「子群」是浸入的、未必嵌入的子流形。