二次一般式（general second-degree equation）
每一條圓錐曲線——圓、橢圓、拋物線、雙曲線——以及它們傾斜或平移後的每個版本，都能寫成單一的代數模板。那個模板就是 x 與 y 的二次一般式，認得它就能一眼判斷某方程式描述的是圓錐曲線，即使它看起來像一團認不出的雜亂。
它是 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 A、B、C、D、E、F 為常數，且 A、B、C 至少一個非零（這樣才真有平方項）。各部分各司其職：A 與 C 控制 x^2 與 y^2 的伸縮；交叉項 Bxy 使圓錐曲線傾斜，讓它的軸不再與座標軸對齊；D 與 E 把中心移離原點；F 設定整體尺度。若 B = 0，圓錐曲線的軸平行於座標軸，你可用配方法讀出它。若 B 非零，圓錐曲線被旋轉，你可把座標軸旋轉一個適當角度來消去 Bxy 項。判別式 B^2 - 4AC 則不必做這些工就告訴你手上是哪種圓錐曲線。
這一條方程式正是笛卡兒所設想的代數與幾何交會點：一個純符號的物件，其六個係數編碼了曲線的類型、大小、位置與傾斜。它也悄悄涵蓋退化情形——一個點、一條線、一對線，或根本沒有實點——這些在特殊係數值時出現，所以「二次一般式」比「圓錐曲線」略為廣泛。
圓 x^2 + y^2 = 25 即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 A = C = 1、B = 0、D = E = 0、F = -25。傾斜曲線 xy = 1 有 A = C = 0、B = 1、D = E = 0、F = -1——只有交叉項，故為旋轉後的（直角）雙曲線。而 9x^2 + 4y^2 - 18x + 16y - 11 = 0 配方後成為中心在 (1, -2) 的橢圓。
六個係數 A..F 一次編碼了圓錐曲線的類型、大小、位置與傾斜。
並非每個二次一般式都是（實的、非退化的）圓錐曲線：x^2 + y^2 + 1 = 0 無實解，x^2 - y^2 = 0 是一對線 y = +-x。這個形式是必要而非充分的；判別式與退化檢驗才能完成判斷。