圓錐曲線判別式檢驗（conic discriminant test）
面對一條糾結的方程式如 5x^2 - 4xy + 8y^2 + ... = 0，你想快速知道：這是橢圓、拋物線還是雙曲線——而不必旋轉軸、配方或畫任何圖？圓錐曲線判別式檢驗只用六個係數中的三個，一個短計算就回答。
對一般式 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，計算判別式 B^2 - 4AC。其正負號決定類型：若 B^2 - 4AC < 0 為橢圓（當另有 B = 0 且 A = C 時為圓）；若 B^2 - 4AC = 0 為拋物線；若 B^2 - 4AC > 0 為雙曲線。它之所以可行，是因為 B^2 - 4AC 在旋轉或平移座標軸下不變——它是方程式的旋轉不變量——所以無論方程式寫得多傾斜、多偏離中心，它都回報圓錐曲線的真實類型。（記憶法：與曲線標準式的正負號型態相同——兩平方同號給封閉的橢圓，異號給張開的雙曲線，少一個平方項給拋物線。）
這個檢驗是把可怕的二次一般式化為即時裁決的快速分類器。它是圓錐中幾何傾斜的代數對應——切割角度與 B^2 - 4AC 的正負號是同一事實的兩面——也正是離心率分類（e < 1、e = 1、e > 1）的代數讀法。
對 5x^2 - 4xy + 8y^2 - 36 = 0：A = 5、B = -4、C = 8，故 B^2 - 4AC = 16 - 160 = -144 < 0——橢圓（此處為傾斜的）。對 xy = 1，寫成 x^2(0) + xy(1) + y^2(0)：A = 0、B = 1、C = 0，故 B^2 - 4AC = 1 > 0——雙曲線。對 x^2 - 4xy + 4y^2 + x = 0：B^2 - 4AC = 16 - 16 = 0——拋物線。
負為橢圓、零為拋物線、正為雙曲線。
判別式說出類型，卻無法察覺退化情形：B^2 - 4AC > 0 可能是真正的雙曲線，也可能只是一對相交的線。分類後仍須檢查圓錐曲線是否已退化為一個點、一條線或無實點。