浮點數捨入與為何 0.1 並不精確

在幾乎任何程式語言裡輸入 0.1 + 0.2 並要求結果，你常會得到的不是 0.3，而是 0.30000000000000004。這不是語言的錯誤，也不是你電腦的瑕疵——它是用固定位元數以二進位儲存十進位分數的不可避免後果。理解原因，能把一個令人困惑的意外，變成一個可預期、可管理的人生事實。

核心在於：浮點數以「二進位」儲存數字，而正如 1/3 無法在十進位裡精確寫出（0.3333……永無止境），值 0.1 也無法在二進位裡精確寫出。在二進位下，0.1 是不會結束的循環小數 0.0001100110011……。由於只有固定數量的尾數位元可用，電腦儲存「最接近的可表示值」，它與真正的 0.1 差了一絲。對這些略有偏差的值做算術，那些微小的誤差可能累積或現形，這正是 0.1 + 0.2 落在離 0.3 幾千兆分之一處的原因。每當一個結果無法精確表示，IEEE-754 就把它「捨入」到一個可表示的鄰居，預設捨到最近的那個（平手時捨向最後一位為偶數的值，稱為四捨六入五成雙）。

實務上的教訓很具體。絕不要對浮點數做精確相等比較；在一個適合你問題的小容差內比較。要知道捨入誤差會在長計算中累積，所以運算的「順序」會稍微改變結果。而對於真正必須精確的值——尤其是金錢——根本別用二進位浮點數；改用整數的分、定點表示法，或十進位型別。浮點數是量測和連續量的正確工具，正確到十五位數綽綽有餘；當「差一分錢」不可接受時，它就是錯誤的工具。