首達滲流與時間常數（first-passage percolation and the time constant）
首達滲流（FPP）把伯努利滲流的開／閉二分換成邊上的隨機通過時間，將滲流變為一個隨機度量與蔓延成長的模型。它是「流體滲過隨機介質、穿越雜訊網路的最短路徑、感染的成長」之典範模型——也是機率學者通往著名 KPZ 普適類隨機成長的門戶。核心問題是流體到時間 t 蔓延多遠，以及蔓延前緣有多粗糙。
對 Z^d 的每條邊 e 賦予一個來自共同分布 F 的獨立非負隨機通過時間 tau(e)。兩頂點間的首達時間 T(x,y) 是「從 x 到 y 所有路徑上、沿路徑通過時間之和」的最小值——一個隨機圖度量。基本極限律是時間常數：在溫和的動差條件下，T(0, n e_1)/n 幾乎必然且在 L^1 中收斂到一個確定常數 mu(F)（方向 e_1 的時間常數），更一般地 T(0, x)/|x| 有方向極限。這是金曼（Kingman）次可加遍歷定理的結果，因為 T 次可加：T(0, x+y) <= T(0,x) + T(x, x+y)。考克斯-杜雷特（Cox-Durrett）形狀定理把它升級為整個成長球的大數法則：到時間 t 可達的頂點集，以 t 重新標度後，收斂到一個由 F 決定的確定凸緊「極限形狀」B。時間常數是給定方向上速度的倒數，也是極限形狀的支撐函數。
FPP 是帶有深刻未解問題的誠實數學。時間常數 mu(F) 幾乎從不顯式已知（連其正性都要求 F(0) < p_c，因為若「以機率 F(0) 為開」的邊已滲流，則存在零成本路徑而 mu = 0）。極限形狀 B 可證為凸且緊，但在任何維度都未知它是歐氏球、甚至未知是否有任何曲率——它是否曾為多邊形仍未解。最引人注目的是，T(0, n e_1) 圍繞其均值的漲落，被猜想在二維為 n^(1/3) 階且具特雷西-威登極限律（KPZ 預測），但嚴格上只知弱界（次線性變異數，Benjamini-Kalai-Schramm；一般至多 n^(o(1))）——真正格 FPP 的精確 1/3 指數仍是重大未解問題之一。所以 FPP 是一個答案被相信、被模擬、物理上引人入勝，卻在嚴格上難以捉摸的模型。
取 Z^2，每條邊的通過時間為指數(1)。則 T(0, n e_1)/n 收斂到一個時間常數 mu 屬於 (0, 無限)，而到時間 t 的浸濕區域，除以 t 後，看起來像一個固定的凸形狀。模擬顯示前緣以 t^(1/3) 階的寬度漲落，且單點漲落符合特雷西-威登 GUE 律——KPZ 標誌——儘管對格 FPP 證明此事仍未解。
FPP 長出一個確定的極限形狀；其前緣漲落被猜想為 KPZ（t^(1/3) 階、特雷西-威登）。
時間常數由金曼次可加遍歷定理而存在，但幾乎從不顯式，且只在 F(0) < p_c 時為正。極限形狀可證為凸／緊，但未知是球或有曲率；而猜想的 n^(1/3) KPZ 漲落對格 FPP 仍未證明。