有限體積法（finite volume method）

許多最重要的偏微分方程——流體流動、氣體動力學、交通——都是守恆律：它們說某個量（質量、動量、能量、車輛）既不被創造也不被消滅，只是被搬來搬去。一個好的數值方法對這類方程應「精確」地守恆該量，而非只是近似，否則它會漏掉質量、謊報總量。有限體積法從根基上就是為此而建的，這正是它主宰計算流體力學的原因。

其想法是在小盒子上記帳。把區域分成許多小控制體積（即「格子」），不追蹤某點的值，而是追蹤未知函數在每個格子上的「平均」。然後對每個格子套用守恆律的積分形式：格子內總量的變化率，等於透過其各面流入的淨通量減去流出的通量——這正是散度定理化成的資產負債表。一維格子 i 的更新讀作 (u_i 新 - u_i 舊)/dt = -(F_{i+1/2} - F_{i-1/2})/h，其中 F_{i+1/2} 是格子 i 與 i+1 之間那個面上的數值通量。美妙的後果是：「離開」一個格子的通量，恰恰等同於「進入」其鄰居的通量，於是對所有格子求和時，內部一切相消，總量只透過外邊界改變。守恆是內建的、精確的，無論網格品質如何。

於是一切取決於你如何選每個面上的數值通量 F，因為兩側的格子平均一般並不相同——這是每個面上的一個微型黎曼問題。簡單的中央通量對對流不穩定；迎風通量（取流動來向那一側的值）穩定卻具耗散性；Godunov 方法求解局部的黎曼問題；而通量限制器混合高階與低階通量，以保持銳利而不振盪。拉克斯-溫德羅夫定理回報了這一切用心：若一個守恆格式收斂，它收斂到守恆律的「真正」弱解（震波在正確的位置，以正確的朗肯-雨貢尼奧速度移動）——這是非守恆格式可能做不到的，它會把震波擺錯位置。