獨立的因式分解判準（factorization criterion for independence）

用定義檢驗獨立 —— 逐一測試每一對範圍 —— 在實務上幾乎不可能。因式分解判準給了一條可行的捷徑：只要看聯合 pmf 或 pdf 能否乾淨地拆成一個只與 x 有關的部分乘上一個只與 y 有關的部分。

乾淨版本是：X 與 Y 獨立，若且唯若聯合分布處處分解為邊際的乘積 —— 離散情形 p(x, y) = p_X(x) p_Y(y)，連續情形 f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)。還有一個方便的較寬鬆形式：X 與 Y 獨立，恰好當聯合密度能寫成某個僅含 x 的函數乘以某個僅含 y 的函數，f(x, y) = g(x) h(y)，且這「相同」的分解在一個本身為矩形的區域上成立（支撐集必須是乘積集合）。剩下的兩個常數隨後會自行歸位成正確的邊際。

這條規則伴隨兩個警告。第一，支撐集也必須可分解：若 x 與 y 被它們所在的區域綁在一起 —— 比方 0 < x < y < 1，其中一者的容許範圍取決於另一者 —— 那麼無論公式長什麼樣，它們都相依。第二，因式分解檢驗的是獨立本身，這遠強於共變異數為零；通過此檢驗排除了「所有」種類的相依，而不只是線性那一種。