作為共形映射的指數與對數

除了莫比烏斯映射之外，最有用的共形映射來自你早已熟知的初等函數——其中最為多才多藝的兩個是指數 e^z 及其反函數對數 log z。它們如此好用，在於它們以簡單的方式把矩形換成楔形、把條帶換成扇形。它們是處理由射線與平行線圍成之區域的標準工具，而這正是莫比烏斯映射單獨無法重塑的。

看指數如何運作。寫 z = x + i y；則 e^z = e^x * e^(i y)，故像的模為 e^x，其輻角為 y。這意味著鉛直線 x = 常數 映成半徑 e^x 的圓，而水平線 y = 常數 映成由原點出發、角度為 y 的射線。於是一個水平條帶，譬如 0 < y < pi（兩條水平線之間的所有點），共形地映滿上半平面：當 y 由 0 掃到 pi 時，e^z 的輻角由 0 掃到 pi，恰好填滿上半平面。把條帶收窄，便得到更小角度的楔形。e^z 的導數是 e^z，恆不為零，故映射處處共形——條帶邊界線之間的角（鉛直線與水平線相交的直角）被忠實地保留為射線與圓之間的直角。

對數 log z 反向進行此事：它把楔形或扇形展開回條帶。一個扇形 0 < arg z < alpha（一塊派餅）在 log z 之下映成水平條帶 0 < y < alpha，把一個彎曲的角形區域變成直邊的區域，問題在那裡簡單得多。這正是為何 log 是角形與楔形定義域的首選映射。本質的警告是多值性：log z 是多值的（arg z 只在差 2 pi 倍數的意義下有定義），因此要把它當成單值共形映射使用，你必須固定一個分支與一條支割線——通常沿一條射線切開平面，使 arg z 保持在一個長度為 2 pi 的區間內。越過切割線，log 的虛部便跳變 2 pi。