顯式與隱式格式（explicit vs implicit schemes）
把與時間相關的 PDE 往前推進時，路有分岔。你可以把每個新值直接寫成你已知的值——「顯式」格式，未來以單純算術從過去算出。或者你可以把方程寫成新值出現在兩邊、糾纏在一起——「隱式」格式，你必須解一個方程系統才能取出新一列。與時間相關問題的有限差分，其全部實務權衡就活在這個選擇裡。
像 FTCS 的顯式格式給出形如 u_j^{n+1} =（只由 u^n 建出的東西）的更新。每個新值以 O(1) 工作讀出；對 N 個節點，一個完整時間步只花 O(N)，且寫起來極簡。問題在穩定性：顯式格式「條件穩定」，受 CFL 型限制（熱方程 r = alpha*k/h^2 <= 1/2，波動 c*k/h <= 1），故時間步被封頂，有時嚴酷。像 BTCS 或克蘭克-尼科森的隱式格式耦合新鄰點，故一個時間步需解線性系統 A u^{n+1} = b——一維問題是便宜的三對角求解（經 Thomas 演算法 O(N)），但在二維／三維是需迭代或多重網格求解器的大型稀疏系統。回報是「無條件穩定」：穩定性不設時間步限，只受準確度所限。
故經驗法則：顯式每步便宜但步長封頂（當自然時間尺度本就逼出小步時極佳，例如你反正想解析的快速波傳播）；隱式每步昂貴但你能取大步（當你否則會被逼進荒謬微小的步時極佳，尤其是「剛性」問題，其顯式限制比準確度需求小上數千倍）。誠實的說法：兩者皆非普遍更優。當步長因物理原因本就小、你又看重簡潔時選顯式；當穩定性否則會勒死你時選隱式，把每步求解當作自由的代價。許多生產級程式兩者並用——非剛性部分用顯式、剛性部分用隱式（IMEX 格式）。
alpha = 1、h = 0.01 的擴散：FTCS 的穩定上限為 k <= h^2/2 = 5*10^-5，故到 t = 1 至少需 20000 個顯式步。BTCS 或克蘭克-尼科森可取 k = 0.01（大 1000 倍），100 步完成——每步付一次三對角求解，但步數遠少。若準確度只需 k 約 0.01，隱式路線決定性地勝出。
顯式：步便宜、尺寸封頂。隱式：步昂貴、無穩定性上限。
隱式格式的無條件穩定「不」是任意大步的許可證——k 增大時準確度仍退化，且當系統病態時每步求解更難收斂。反過來，顯式格式的小步有時恰是物理本就需要的，那時它的簡潔取勝。這個選擇是成本對穩定性的權衡，而非對品質的裁決。