BTCS 格式（backward-time central-space）
/ B-T-C-S /
FTCS 把熱往前推進時，純粹用舊鄰點算出每個新值——快，但時間步太大就爆。BTCS 做相反的交易：它用「新的、未知的」鄰點寫方程，使所有空間耦合都發生在未來時間層。回報是你能取極大的時間步而不爆炸；代價是每一步現在都要解一個線性系統。BTCS 是熱方程 u_t = alpha * u_xx 的全隱式格式。
食譜是時間後向（Backward in Time）、空間中心（Central in Space）。時間導數是後向差分 (u_j^n - u_j^{n-1}) / k——等價地，從層 n 推進到 n+1 時寫成 (u_j^{n+1} - u_j^n) / k——而 u_xx 的中心二階差分在「新」層 n+1 上計算，而非舊層。重排後更新式為 -r * u_{j-1}^{n+1} + (1 + 2r) * u_j^{n+1} - r * u_{j+1}^{n+1} = u_j^n，其中 r = alpha * k / h^2。j 處的新值如今取決於它的新鄰點，故無法直接讀出；層 n+1 的所有未知量被纏在一起成為一個三對角線性系統 A u^{n+1} = u^n，每步求解（Thomas 演算法以 O(N) 時間完成）。
回報是無條件穩定。馮諾伊曼分析給出放大因子 1 / (1 + 2r*(1 - cos))，其大小對每個 r > 0 都至多為 1——完全沒有時間步限制。你可以用大 k 推進，僅受準確度而非穩定性所限，這正是你想要的：對只需在時間上粗略解析的擴散問題，或對顯式步長會小到不可能的剛性問題。BTCS 在時間上一階、空間上二階準確；克蘭克-尼科森把時間精度升到二階，同時保有無條件穩定。
取 r = 2（遠超 FTCS 的 0.5 限制），對 N 個內部節點的一次 BTCS 步意味著解一個三對角系統，其對角為 1 + 2r = 5、非對角為 -r = -2，右端為舊值。Thomas 演算法用一趟前掃、一趟後掃完成；結果在這個會讓 FTCS 引爆的大步長下仍平滑而穩定。
無條件穩定——但每一步要付一次三對角求解。
無條件穩定不等於無條件準確：BTCS 在時間上僅一階，故一個穩定的巨大 k 仍可能給出嚴重不準的答案。穩定性只保證誤差不爆炸，不保證它小——這個區別正是拉克斯等價定理的核心。