厄朗分配（Erlang distribution）

當電話以穩定速率打進總機時，要多久才會恰好有 k 通電話到達？丹麥工程師 A. K. Erlang 正是為早期電話網路問了這個問題。答案是厄朗分配：把伽瑪分配的形狀限定為整數，於是它真的是 k 段相同指數等待之和。

記作 X ~ Erlang(k, lambda)：等待 k 個獨立的 Exponential(lambda) 事件並相加。它恰好是 Gamma(k, theta = 1/lambda)，其中 k 為正整數。密度為 f(x) = lambda^k x^(k-1) e^(-lambda x) / (k - 1)!（x >= 0）——注意 (k - 1)! 取代了伽瑪函數，因為 k 是整數。平均為 E[X] = k/lambda，變異數為 Var(X) = k/lambda^2：分別是指數分配平均與變異數的 k 倍，正如 k 份獨立複本相加所應預期。當 k = 1 時它退化為純指數。

厄朗分配至今仍是排隊理論與電信的基石——估算客服中心規模、描述由數個階段組成的服務時間、以及在受到 k 次衝擊後才故障之系統的可靠度。可把它想成「靠計數整數個到達而得到的伽瑪」。唯一的微妙之處是名稱重疊：厄朗本就是伽瑪，只是形狀被強制為整數，因此一切一般伽瑪的結論都適用，但標示為「Erlang」的軟體會拒絕非整數的 k。