熵-熵通量對（entropy-flux pair）

熵條件可以陳述成關於特徵線的幾何法則，但有一種更靈活、影響更深遠的說法：用一個看似守恆、卻在真實解上只能減少的額外量來表述。熵-熵通量對正是這樣一對記帳量——一個量 eta 與其伴隨通量 q，設計成使光滑流守恆 eta、而震波摧毀 eta。

對純量律 u_t + f(u)_x = 0 而言，u 的一對函數 (eta, q) 是熵-熵通量對，若 q'(u) = eta'(u) f'(u)。這條相容關係的要點是：只要 u 是光滑解，鏈式法則就恰好給出 eta(u)_t + q(u)_x = 0——eta 白白成了一個額外的守恆量。現在取 eta 為「凸」函數。那麼對物理上正確的（熵）解而言，即使跨越震波，也有不等式 eta(u)_t + q(u)_x <= 0 在分布意義下成立：熵不守恆，而是在震波處「被耗散」。要求這條不等式對每個凸熵對都成立，就是可容許性最乾淨的陳述。克魯日科夫進一步銳化它，對每個常數 k 使用特殊族 eta(u) = |u - k| 與 q(u) = sign(u - k)(f(u) - f(k))，這已足以定下唯一解。

它的重要性在於：熵對把熵條件化為一條穩健的不等式，它在取極限時依然成立、並在任意空間維度下都有效，這正是證明存在與唯一所需要的。它們也給數值分析者一個可監控的量：熵穩定的格式就是會耗散離散熵的格式，從而保證它不會收斂到錯誤的弱解。然而對系統而言，凸熵未必存在——當它存在時（如氣體動力學，物理熵恰好可用），它是一份強而有力的結構性贈禮。