經驗譜分布（empirical spectral distribution）

隨機矩陣理論問的是一個看似簡單的問題：若你把一個大矩陣填滿隨機數，它的特徵值會長成什麼樣子？一個 N×N 矩陣有 N 個特徵值，隨著 N 增大，這 N 個點散布在實線上（對 Hermite 矩陣）或複平面上（否則）。要談論它們的集體行為，你需要把全部 N 個打包成單一對象，這個對象就是經驗譜分布。它是線性代數（一串特徵值）與機率（一個我們可研究其極限的隨機測度）之間的橋樑。

精確地說，若 Hermite 的 N×N 矩陣 A_N 有特徵值 lambda_1, ..., lambda_N，其經驗譜分布是隨機機率測度 mu_{A_N} = (1/N) sum over i of delta_{lambda_i}，即放在每個特徵值上的點質量之平均。它在每個特徵值上放質量 1/N，所以它是 R 上一個真正的機率測度，但卻是隨機的：它依賴於 A_N 的隨機元素。整個體相（bulk）隨機矩陣理論的核心，是要證明在適當縮放元素之後（通常除以 sqrt(N) 使特徵值保持 O(1)），這個隨機測度 mu_{A_N} 在弱收斂意義下（通常依機率或幾乎必然）收斂到一個確定性的極限測度，當 N 趨於無窮。此極限稱為極限譜分布。

令人驚奇的是，儘管每個元素都是隨機的，極限卻是非隨機的：特徵值會自我平均，這是高維中集中現象的一種表現。對 Wigner 矩陣極限是半圓律；對樣本共變異數矩陣是馬爾欽科-帕斯圖爾律；對獨立同分布的非 Hermite 矩陣其（複）極限是圓盤上的均勻測度，即圓律。一個關鍵注意事項：經驗譜分布的弱收斂只描述體相密度。它對最大或最小的特徵值毫無說明，這些特徵值可能略微落在極限支撐之外，且由完全獨立的邊緣理論（Tracy-Widom）所支配。測度收斂並不蘊含極端特徵值收斂。