離散化誤差

離散化誤差是你把連續問題——定義在連續的點上、帶有導數與積分——換成定義在有限格點上、帶有和與差的離散問題時，特別產生的截斷誤差。它是連續問題的答案，與你實際交給電腦的離散問題的答案之間的落差。

連續數學活在無窮多個點上；電腦只能持有有限多個。於是你鋪下間距為 h（空間）或步長（時間）的網格，用有限差分公式近似每個導數，用求積和近似每個積分，並在格點上用代數系統近似微分方程。每一次這樣的替換都引入隨間距縮放的誤差——二階格式通常是 O(h^2)——因此隨著網格加密，離散解收斂到真正的連續解。例如，用 (u(x-h) - 2 u(x) + u(x+h))/h^2 近似熱方程的二階導數，在每個格點上帶有 O(h^2) 的離散化誤差。

離散化誤差重要，因為在解微分與積分方程時，它通常是主導且可控的誤差，也因為加密網格以縮小它需要花費工作量——在三維中把 h 減半可能讓未知數變為八倍。一個核心做法，精度階研究，是加密網格並確認誤差以方法承諾的速率下降；若不然，你的程式或格式有錯。注意它與捨入的對比：加密網格減少離散化誤差，卻增加總算術量，使捨入緩慢累積——加密只在一定程度內有幫助。