離散與連續隨機變數（discrete vs continuous random variables）

隨機變數主要有兩種型態，處理它們的工具完全不同。離散隨機變數只能取那些原則上可以一個一個列舉出來的值：0, 1, 2, 3, ...，例如你今天收到的電子郵件數量，或十次擲硬幣中正面的次數。連續隨機變數可以取某個範圍內任何沒有空隙的值，像是一個人的確切身高、公車到站前的時間，或在數線上選取的一個點。在 1.732 公尺之後沒有「下一個」值。

這個區分之所以重要，在於機率分布的方式。對離散變數而言，機率以一塊一塊的形式落在個別的值上：每個值都可以帶有正的機率，而這些機率加總為 1。你用機率質量函數（pmf）來描述它，它對每個可能的 x 給出 P(X = x)。對連續變數而言，任何單一的確切值都不帶任何機率（恰好是 1.732000... 公尺的機率為零）；機率沿著區間平滑地散布，你用機率密度函數（pdf）來描述它，其中機率是曲線下、靠積分求得的面積。

一個好用的判斷法：你能不能（哪怕只是原則上）把可能的值列舉出來？如果可以（可能是像 0, 1, 2, ... 的無窮列表），它就是離散的；如果這些值填滿一個區間，它就是連續的。誠實的提醒：這兩種並非故事的全部。有些變數是混合的，有平滑的部分再加上一兩個塊（例如降雨量恰好為 0 的機率為正，但其餘部分連續散布）。乾淨的「離散或連續」圖像是個起點，而不是自然律。